Die Steiner-Ellipse -
Zwei einfache Konstruktions-Methoden
von
Markus Heisss
2019/2022, Würzburg, Bayern
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Die folgenden Abbildungen dürfen vervielfältigt werden, aber ohne Veränderung!
Da es auch eine "Steiner-Inellipse" gibt, ist im weiteren Verlauf
mit "Steiner-Ellipse" immer die "Steiner-Umellipse" gemeint.
Kurze Hinführung:
Als erstes konstruiere man einen Kreis um den Schwerpunkt G
mit dem Radius der kleinen Halb-Achse.
Zeichnet man nun drei Parallelen zur größeren Halb-Achse der Ellipse
durch die Eckpunkte des Dreiecks, dann schneiden diese den Kreis so,
dass sich ein gleichseitiges Dreieck ergibt. Siehe nächste Zeichnung:
Abb. 1: Affine Abbildung der Steiner-Ellipse zu einem gleichseitigen Dreieck
Es handelt sich hierbei um eine affine Abbildung, die im
Englisch-sprachigen Geometrie-Klassiker "Advanced Euclidean Geometry"
von Roger A. Johnson im Kapitel "Vertical Projections" (S. 290ff)
ausführlich beschrieben ist.
Vereinfacht sieht das wie folgt aus: Man denke sich einen Schnitt
entlang der großen Halb-Achse senkrecht zur Ebene der Ellipse.
Siehe nächste Zeichnung:
Abb. 2: Senkrechter Schnitt durch die Ebene der Steiner-Ellipse
Also einfach ausgedrückt: Projiziert man die Steiner-Ellipse so,
dass sie zu einem Kreis wird, dann wird aus dem Dreieck ABC
ein gleichseitiges Dreieck.
Der Winkel Φ zwischen beiden Ebenen lässt sich leicht berechnen.
(Formel ==> siehe Abbildung.)
Übrigens steht dieses gleichseitige Dreieck in Verbindung mit den Napoleon-Dreiecken.
(Informationen zu den beiden Napoleon-Dreiecken bekommt man hier:
https://napoleon-dreiecke.jimdofree.com/
Und zwar gilt:
Das äußere Napoleon-Dreieck und das von der Steiner-Ellipse aus
projizierte gleichseitige Dreieck A'B'C'
sind homothetisch (Heisss, August 2019).
("Homothetisch" heisst, die Dreiecke sind zueinander ähnlich
und besitzen die gleiche Orientierung...
was wiederum bedeutet, dass die entsprechenden Seiten der Dreiecke parallel sind).
Dies ist in der nachfolgenden Grafik gezeigt:
Abb. 3: Äußeres Napoleon-Dreieck und zu einem Kreis transformierte Steiner-Ellipse
Natürlich existiert auch das passende Gegenstück zum inneren Napoleon-Dreieck,
denn es gibt drei alternative Schnittpunkte der Parallelen mit dem projizierten Kreis.
Diese drei Schnittpunkte bilden ebenfalls ein gleichseitiges Dreieck.
Somit gilt:
Das innere Napoleon-Dreieck und das von der Steiner-Ellipse aus
projizierte alternative gleichseitige Dreieck A''C''B''
sind homothetisch (Heisss, August 2019).
Siehe nachfolgende Zeichnung:
Abb. 4: Inneres Napoleon-Dreieck und zu einem Kreis transformierte Steiner-Ellipse
Beide Theoreme zusammen ergeben
eine sehr einfache und "echte" Konstruktions-Methode
der beiden Symmetrie-Achsen der Steiner-Ellipse.
Wie bereits ganz oben gezeigt, aber hier noch einmal:
Abb. 5: Schnelle Konstruktion der Steiner-Ellipse
Und nun im Vergleich dazu eine frühere Konstruktions-Methode:
Abb. 5a: Frühere Konstruktion der Steiner-Ellipse mit Nachteil
Und noch eine Konstruktions-Methode
Die Erklärung erfolgt an Hand eines Beispiels:
Formeln zum Kopieren (z.B. in Mathematica):
k1=a^2+b^2+c^2, k2=a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2, k3=a^4+b^4+c^4, k4=(k3-k2)^(1/2), k5=k1/((2*k2-k3)^(1/2)),
ae=1/3*((k1+2*k4)^(1/2)), be=1/3*((k1-2*k4)^(1/2)), tanPhi=1/3*(k5-((k5^2-3)^(1/2)))
Zeichnerische Vorgehensweise:
[Kurze Vorbemerkung: Genau genommen ist dies keine Konstruktionsmethode,
da Vorab-Berechnungen stattfanden und längere Wurzelterme einfach übertragen werden.
Doch das Endresultat ist exakt!]
1.) Man konstruiere zuerst das Dreieck ABC und dessen Schwerpunkt G.
2.) Als nächstes zeichnet man eine Gerade durch einen der Eckpunkte
des Dreiecks mit dem berechneten Winkel φ zur Innenseite des Dreiecks hin.
Diese Gerade schneidet man mit der Mittelsenkrechten der zugehörigen Seite
des Dreiecks und erhält somit den Schnittpunkt P.
3.) Die Gerade GP ist bereits eine der zwei Symmetrie-Achsen der Steiner-Ellipse.
Die zweite Symmetrie-Achse steht im Schwerpunkt G senkrecht auf der ersten.
4.) Die zuvor berechneten Längen für die beiden Halb-Achsen ae und be
und werden nun vom Schwerpunkt G aus auf die zwei Symmetrie-Achsen
der Ellipse übertragen.
5.) Diese vier Schnittpunkte Qn und die drei Eckpunkte des Dreiecks liegen alle
auf der Steiner-Ellipse und sind somit mehr als ausreichend für eine Zeichnung.
Abb. 6: Alternative Konstruktion der Steiner-Ellipse
Übrigens: Schneidet man den Umkreis des Dreiecks ABC mit der Steiner-Ellipse,
so erhält man einen weiteren Schnittpunkt S, den sogenannten "Steiner-Punkt" S.
(... wie in der Abbildung oben gezeigt)
Anmerkung: Der Steiner-Punkt S entspricht dem Kimberling Center X99.
Eine Liste aller wichtigen Punkte eines Dreiecks in englischer Sprache findet man hier:
Anmerkung: Weitere wichtige Informationen zur Steiner-Ellipse
findet man auf der folgenden Englisch-sprachigen Internet-Seite:
[http://mathworld.wolfram.com/SteinerCircumellipse.html]
Darüber hinaus gibt es auch eine sogenannte "Steiner-Inellipse".
Siehe nächste Zeichnung:
Abb. 7: Die Steiner-Inellipse
Wie man sieht, sind die jeweiligen Distanzen
nur halb so groß wie die der Steiner-Ellipse.
Anmerkung: Weitere wichtige Informationen zur Steiner-Inellipse
in Englisch findet man hier:
Abschließende Bemerkung:
Die hier gezeigte "alternative Konstruktions-Methode"
(- die, wie gesagt, keine echte Konstruktion ist -)
bedient sich der Entdeckung, dass die Schnittpunkte der drei McCay-Kreise
mit den entsprechenden Mittelsenkrechten der Dreieckseiten zwei Kollinearen liefern,
welche mit den Symmetrie-Achsen der Steiner-Ellipse identisch sind.
Anwendung:
Mittels der beiden hier gezeigten Konstruktions-Methoden
lassen sich die drei McCay-Kreise eines Dreiecks auf einfache Weise konstruieren.
Ausführliche Informationen dazu findet man hier:
Weitere Links mit Beziehungen zur Steiner-Ellipse:
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[zu den Beweisen]
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Nachtrag vom 31.03.2022
... und noch eine Entdeckung!
Abb. 8: Theorem zur Steiner-Ellipse und den beiden Napoleon-Kreisen
Man beachte auch die einfachen Beziehungen zwischen den Radien der Napoleon-Kreise
und den Halbachsen der Steiner-Ellipse!